Ramsey-Cass-Koopmans Model

该模型旨在将消费（储蓄）选择纳入最优化的框架。

家庭

时间：无限期，连续型

代表性家庭瞬时(instantaneous)效用函数为

u (c (t))

假设瞬时效用函数满足：

二阶连续可微
严格递增
严格凹
$lim_{c \to 0} u^{'} (c) = \infty$ 且 $lim_{c \to \infty} u^{'} (c) = 0$

$t = 0$ 期家庭期望效用函数为

U (0) = \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (c (t)) L (t) d t = \int_{0}^{\infty} e^{- (ρ - n) t} u (c (t)) d t where ρ > n

其中：

$ρ$ 为效用贴现率
$c (t) \equiv \frac{C (t)}{L (t)}$ 为人均消费
$L (t) = e^{n t} L (0)$ 且 $L (0) \equiv 1$

Note

若时间离散则期望效用函数为 $U (0) = \sum_{t = 0}^{\infty} β^{t} u (c (t))$

家庭预算约束为

\dot{A} (t) \equiv r (t) A (t) + w (t) L (t) - c (t) L (t)

其中：

$A (t)$ 为总资产(asset)
$r (t)$ 为利率
$w (t)$ 为工资

定义人均资产 $a (t) \equiv \frac{A (t)}{L (t)}$ ，从而有

\dot{A} (t) = \frac{d a (t) L (t)}{d t} = \dot{a} (t) L (t) + a (t) \dot{L} (t)

家庭预算约束可以改写为

\dot{a} (t) = [r (t) - n] a (t) + w (t) - c (t)

Note

若不考虑人口增长为

\dot{a} (t) = r (t) a (t) + w (t) - c (t)

若考虑外生技术进步为

\dot{a} (t) = [r (t) - n - g] a (t) + w (t) - c (t)

若考虑税率为 $τ$ 的资本所得税为

\dot{a} (t) = [(1 - τ) r (t) - n] a (t) + w (t) - c (t)

若考虑税率为 $τ$ 的收入所得税为

\dot{a} (t) = [(1 - τ) r (t) - n] a (t) + (1 - τ) w (t) - c (t)

厂商

类似 Solow Model 当中的假设（不考虑技术进步），总量生产函数为

Y (t) = F (K (t), L (t))

人均生产函数为

y (t) \equiv \frac{Y (t)}{L (t)} = f (k (t))

利润最大化问题为（产品作为计价物品）

max_{K (t), L (t)} F (K (t), L (t)) - R (t) K (t) - w (t) L (t)

最优化条件为

\begin{aligned} F_{K} (K (t), L (t)) & = R (t) \\ F_{L} (K (t), L (t)) & = w (t) \end{aligned}

根据齐次函数#欧拉定理可知

\begin{aligned} F_{K} (K, L) & = f^{'} (k) \\ F_{L} (K, L) & = f (k) - f^{'} (k) k \end{aligned}

最优化条件可以改写为

\begin{aligned} R (t) & = f^{'} (k (t)) \\ w (t) & = f (k (t)) - f^{'} (k (t)) k (t) \end{aligned}

市场出清

\begin{aligned} a (t) & = k (t) \\ r (t) & = R (t) - δ \end{aligned}

Note

可以这样理解，资产(asset)不会折旧，资本(capital)会折旧，资产的收益 $r (t)$ 和资本的收益 $R (t) - δ$ 必定相等。

均衡

Definition A competitive equilibrium of the Ramsey economy consists of paths ${C (t), K (t), w (t), R (t)}_{t = 0}^{\infty}$ , such that the representative household maximizes its utility given initial capital stock $K (0)$ and the time path of prices ${w (t), R (t)}_{t = 0}^{\infty}$ , and all markets clear.

\begin{aligned} max_{c (t)} & U (0) = \int_{0}^{\infty} e^{- (ρ - n) t} u (c (t)) d x \\ s.t. & \dot{a} (t) = [r (t) - n] a (t) + w (t) - c (t) \\ lim_{t \to \infty} a (t) \exp [- \int_{0}^{t} (r (s) - n) d s] \geq 0 \end{aligned}

Note

第二条约束称为 no-ponzi-game 条件，意味在无穷期资产的现值非负。注意其和

a (t) \exp [- \int_{0}^{t} (r (s) - n) d s] \geq 0

的区别，前者只要求资产现值在无穷期趋近于非负，可以有借贷行为；后者相当于要求资产现值在任意期都非负，不能有借贷行为。

在最优化过程中并不直接处理这条约束，而是求出结果后再验证是否满足约束。

该问题的现值Hamiltonian function 为（see 最优控制理论）

\hat{H} (a, c, μ) = u (c (t)) + μ (t) {[r (t) - n] a (t) + w (t) - c (t)}

Maximum Principle

\begin{aligned} (1) & \frac{\partial \hat{H} (a, c, μ)}{\partial c} & = 0 & ⟹ & u^{'} (c (t)) = μ (t) \\ (2) & \frac{\partial \hat{H} (a, c, μ)}{\partial a} & = - \dot{μ} (t) + (ρ - n) μ (t) & ⟹ & \frac{\dot{μ} (t)}{μ (t)} = ρ - r (t) \\ (3) & \frac{\partial \hat{H} (a, c, μ)}{\partial μ} & = \dot{a} (t) \\ (4) & lim_{t \to \infty} [e^{- (ρ - n) t} μ (t) a (t)] & = 0 \end{aligned}

根据(1)可得

\frac{\dot{μ} (t)}{μ (t)} = \frac{d \ln u^{'} (c (t))}{d t} = \frac{1}{u^{'} (c (t))} \frac{d u^{'} (c (t))}{d c} \frac{d c (t)}{d t} = \frac{u^{″} (c (t))}{u^{'} (c (t))} c (t) \frac{\dot{c} (t)}{c (t)}

瞬时效用函数的相对风险规避系数 $θ$ 的定义为

θ \equiv - c (t) \frac{u^{″} (c (t))}{u^{'} (c (t))}

结合(2)可得欧拉方程

\frac{\dot{c} (t)}{c (t)} = \frac{r (t) - ρ}{θ}

Note

是否考虑人口增长率没有影响；
若考虑税率为 $τ$ 的资本所得税或收入所得税为

\frac{\dot{c} (t)}{c (t)} = \frac{(1 - τ) r (t) - ρ}{θ}

代入利润最大化条件、市场出清条件可得

\frac{\dot{c} (t)}{c (t)} = \frac{f^{'} (k) - δ - ρ}{θ}

接下来验证约束条件：对(2)积分并代入(1)

\begin{aligned} μ (t) & = μ (0) \exp (\int_{0}^{t} (ρ - r (s)) d s) \\ = u^{'} (c (0)) \exp (- \int_{0}^{t} (r (s) - ρ) d s) \end{aligned}

代入横截条件(transversality condition)

\begin{aligned} 0 & = lim_{t \to \infty} [e^{- (ρ - n) t} a (t) u^{'} (c (0)) \exp (- \int_{0}^{t} (r (s) - ρ) d s)] \\ 0 & = lim_{t \to \infty} [a (t) \exp (- \int_{0}^{t} (r (s) - n) d s)] \end{aligned}

因此no-Ponzi game 条件满足，相当于无限期资产现值必为零（花光了）

Note

如果考虑社会计划者经济，相当于约束条件自动满足市场出清条件：

\begin{aligned} \dot{k} (t) & = [f^{'} (k) - δ - n] k (t) + [f (k (t)) - k f^{'} (k (t))] - c (t) \\ = f (k (t)) - (n + δ) k (t) - c (t) \end{aligned}

重复上述最优化过程可得同样的欧拉方程

\frac{\dot{c} (t)}{c (t)} = \frac{f^{'} (k) - δ - ρ}{θ}

如果考虑外生技术进步为

\frac{\dot{c} (t)}{c (t)} = \frac{f^{'} (k) - δ - ρ}{θ} - g

稳态

在稳态下即 $\dot{c} (t) = \dot{k} (t) = 0$ 时，资本劳动比 $k^{*}$ 取决于

f^{'} (k^{*}) = ρ + δ

即使考虑外生技术进步， $k^{*}$ 也只取决于 $(ρ, δ, g)$ ；
在 Solow Model 中 $k^{*}$ 取决于 $(s, n, g, δ)$
这里核心特点在于 $n$ 对稳态没有影响，更符合现实。

类似地，稳态劳均消费 $c^{*}$ 取决于

c^{*} = f (k^{*}) - (n + δ) k^{*}

此时稳态储蓄率相当于

s^{*} \equiv \frac{f (k^{*}) - c^{*}}{f (k^{*})} = \frac{(n + δ) k^{*}}{f (k^{*})}

这和 Solow Model （不考虑技术进步）的固定储蓄率完全一致。

家庭行为

假设 $t$ 期的人口为 $L (t)$ ，增长率为常数 $n$ ，即 $L (t) = L (0) e^{n t}$

家庭的个数为常数 $H$ ，即 $t$ 期每个家庭有 $\frac{L (t)}{H}$ 人

初期资本存量为 $K (0)$ ，即初期家庭资本存量为 $\frac{K (0)}{H}$

瞬时效用函数为 CRRA 效用函数

u (\tilde{c} (t)) = \frac{\tilde{c} (t)^{1 - θ}}{1 - θ}, θ > 0, θ \neq 1

其中 $\tilde{c} (t) = c (t) A (t) = \frac{C (t)}{L (t)}$ 表示单人的消费

家庭效用函数为

\begin{aligned} U & = \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (\tilde{c} (t)) \frac{L (t)}{H} d t \\ = \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} \frac{[c (t) A (t)]^{1 - θ}}{1 - θ} \frac{L (t)}{H} d t \\ = \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} [A (0)^{1 - θ} e^{(1 - θ) g t} \frac{c (t)^{1 - θ}}{1 - θ}] \frac{L (0) e^{n t}}{H} d t \\ = A (0)^{1 - θ} \frac{L (0)}{H} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t + (1 - θ) g t + n t} \frac{c (t)^{1 - θ}}{1 - θ} d t \\ = B \int_{0}^{\infty} e^{- β t} \frac{c (t)^{1 - θ}}{1 - θ} d t \end{aligned}

其中

{\begin{cases} B & \equiv A (0)^{1 - θ} \frac{L (0)}{H} \\ β & \equiv ρ - n - (1 - θ) g \end{cases}

注意：这里我们需要额外假定 $β > 0$ 避免积分发散。

厂商行为

根据竞争性条件有

r = \frac{\partial F}{\partial K} = \frac{\partial A L f (k)}{\partial k} \frac{\partial k}{\partial K} = A L f^{'} (k) \frac{1}{A L} = f^{'} (k)

以及

\tilde{w} = \frac{\partial F}{\partial L} = \frac{\partial A L f (k)}{\partial L} = A f (k) + A L \frac{\partial f (k)}{\partial k} \frac{\partial k}{\partial L} = A f (k) + A L f^{'} (k) (- \frac{K}{A L^{2}}) = A [f (k) - k f^{'} (k)]

其中 $w \equiv [f (k) - k f^{'} (k)]$ 为有效劳动收入，即 $\tilde{w} = w A$

约束条件

有限期界下消费者的终身预算约束（折现到初期）为

\begin{aligned} \int_{0}^{T} e^{- R (t)} \tilde{c} (t) \frac{L (t)}{H} d t + e^{- R (T)} \frac{K (T)}{H} & = \frac{K (0)}{H} + \int_{0}^{T} e^{- R (t)} \tilde{w} (t) \frac{L (t)}{H} d t \\ \int_{0}^{T} e^{- R (t)} c (t) \frac{A (t) L (t)}{H} d t + e^{- R (T)} k (T) \frac{A (T) L (T)}{H} & = k (0) \frac{A (0) L (0)}{H} + \int_{0}^{T} e^{- R (t)} w (t) \frac{A (t) L (t)}{H} d t \end{aligned}

利用 $A (t) L (t) = A (0) L (0) e^{(n + g) t}$ 以及 $A (T) L (T) = A (0) L (0) e^{(n + g) T}$ 化简可得

\int_{0}^{T} e^{- R (t)} c (t) e^{(n + g) t} d t + e^{- R (T) + (n + g) T} k (T) = k (0) + \int_{0}^{T} e^{- R (t)} w (t) e^{(n + g) t} d t

其中 $R (t) = \int_{0}^{t} r (τ) d τ$ 以及 $R (t) = \int_{0}^{T} r (τ) d τ$ 为可变利率，若利率不变则 $R (t) = r t$

在无限期界情形时，我们假设家庭财富不会渐进趋于负值，即 no-pongzi-game condition

lim_{T \to \infty} e^{- R (T) + (n + g) T} k (T) \geq 0

令 $T \to \infty$ 将预算约束化为不等式形式：

\int_{0}^{\infty} e^{- R (t)} c (t) e^{(n + g) t} d t \leq k (0) + \int_{0}^{\infty} e^{- R (t)} w (t) e^{(n + g) t} d t

换言之，一生消费的现值不能超过其初始财富加上一生劳动收入的现值。

移项可得

k (0) + \int_{0}^{\infty} e^{- R (t) + (n + g) t} [w (t) - c (t)] d t \geq 0

模型求解

动态最优化问题为

\begin{aligned} max_{c} & U = B \int_{0}^{\infty} e^{- β t} \frac{c (t)^{1 - θ}}{1 - θ} d t \\ s.t. & β \equiv ρ - n - (1 - θ) g \\ B \equiv A (0)^{1 - θ} \frac{L (0)}{H} \\ \dot{k} (t) = f (k (t)) - c (t) - (n + g + δ) k (t) \end{aligned}

Hamiltonian function is

H (t, k, c, λ) \equiv e^{- β t} \frac{c (t)^{1 - θ}}{1 - θ} + λ (t) [f (k (t)) - c (t) - (n + g + δ) k (t)]

The maximum principle is

\begin{aligned} (1) & \frac{\partial H}{\partial c (t)} & = 0 ⟹ e^{- β t} c (t)^{- θ} = λ (t) \\ (2) & \frac{\partial H}{\partial k (t)} & = - \dot{λ} (t) ⟹ λ (t) [f^{'} (k (t)) - (n + g + δ)] = - \dot{λ} (t) \\ \frac{\partial H}{\partial λ (t)} & = \dot{k} (t) \end{aligned}

注意 $\frac{d \ln λ (t)}{d t} = \frac{\dot{λ} (t)}{λ (t)}$ ，根据(1)可知

\ln λ (t) = - β t - θ \ln c (t) ⟹ \frac{\dot{λ} (t)}{λ (t)} = - β - θ \frac{\dot{c} (t)}{c (t)}

代入(2)可得

\frac{\dot{c} (t)}{c (t)} = \frac{f^{'} (k (t)) - (n + g + δ + β)}{θ} = \frac{f^{'} (k (t)) - ρ - θ g - δ}{θ}

模型动态

两个变量决定两个动态，即 $\dot{c} (c, k)$ 和 $\dot{k} (c, k)$ ，可以在坐标图中表现出来。

我们记 $\dot{c} = 0$ 时 $k = \hat{k}$ ，根据欧拉方程可知

{\begin{cases} f^{'} (k (t)) = ρ + θ g + δ & , if \dot{c} = 0 and k = \hat{k} \\ f^{'} (k (t)) > ρ + θ g + δ & , if \dot{c} > 0 and k < \hat{k} \\ f^{'} (k (t)) < ρ + θ g + δ & , if \dot{c} < 0 and k > \hat{k} \end{cases}

从第一个式子可以看出 $\dot{c} = 0$ 时 $\hat{k}$ 是一个常数

我们记 $\dot{k} = 0$ 时 $c = \hat{c}$ ，根据资本动态方程 $c (t) = f (k (t)) - (n + g + δ) k (t) - \dot{k} (t)$ 可知

{\begin{cases} c (t) = f (k (t)) - (n + g + δ) k (t) & , if \dot{k} = 0 and c = \hat{c} \\ c (t) < f (k (t)) - (n + g + δ) k (t) & , if \dot{k} > 0 and c < \hat{c} \\ c (t) > f (k (t)) - (n + g + δ) k (t) & , if \dot{k} < 0 and c > \hat{c} \end{cases}

从第一个式子可以看出 $\dot{k} = 0$ 时 $\hat{c}$ 是一个先增后减的曲线，最高点即 $c_{g}$

命题： $\hat{k} < k_{g}$ ，即稳态资本（ $\dot{k} = \dot{c} = 0$ ）一定小于黄金率资本。

证明：根据相位图两条分界线的定义式可知

{\begin{cases} f^{'} (\hat{k}) & = ρ + θ g + δ \\ f^{'} (k_{g}) & = n + g + δ \end{cases}

根据家庭效用函数积分不发散条件和边际产量递减可知

ρ - n - (1 - θ) g > 0 ⟹ f^{'} (\hat{k}) > f^{'} (k_{g}) ⟹ \hat{k} < k_{g}